Vectores

 Vectores

Los vectores son magnitudes físicas, también es un segmento de recta en el espacio que parte de un punto de origen hasta otro punto y sus elementos son: módulo, sentido, dirección, punto de aplicación, a continuación explicare cada una de ellas.

Módulo:  Es el tamaño del vector y gráficamente se lo representa como una flecha cabe destacar que el módulo de un vector siempre va a ser positivo y siempre va a venir acompañado de su unidad correspondiente

Sentido:  Se refiere a donde se va a dirigir el vector y se representa con una saeta 

Dirección:  Es el ángulo de inclinación  que se forma a partir del eje x hasta llegar al vector en sentido antihorario 

Punto de aplicación:  Es el origen o punto inicial del vector 

En esta imagen dejaré el vector con todos sus elementos que ya se han explicado con anterioridad

Después de ver los elementos del vector sabemos que se puede representar en una recta o plano cartesiano. 

Sistemas de coordenadas rectangulares y polares

 Sistemas

Existen sistemas los cuales sirven para representar a un vector en el plano y estos son: sistemas de coordenadas rectangulares, sistema de coordenadas polares, sistema de coordenadas geográficas, sistema de vectores base y sistema: módulo y unitario. 

Sistema de coordenadas rectangulares: El vector esta expresado en el sistema de coordenadas rectangulares cuando se conocen sus dos componentes y de acuerdo al signo que lleven las mismas se podrá determinar el cuadrante en el que están ubicadas.

Se debe recalcar que cuando las dos componentes son positivas el vector estará en el primer cuadrante, si la primera componente es negativa y la segunda positiva el vector estará en el segundo cuadrante, cuando ambas componentes sean negativas el vector estará en el tercer cuadrante y cuando la primera componente sea positiva y la segunda negativa el vector estará en el cuarto cuadrante.

La dirección en sistema de coordenadas rectangulares se calcula con la siguiente formula

Sistema de coordenadas Polares: Un vector en el sistema de coordenadas polares se expresa cuando se conoce su modulo y su dirección. El modulo y la dirección siempre va a ser positivas.

Para determinar en qué cuadrante está ubicado el vector en sistemas de coordenadas Polares se dice que:

PRIMER CUADRANTE: 0° < Ꝋ < 90°

SEGUNDO CUADRANTE: 90° < Ꝋ < 180°

TERCER CUADRANTE: 180° < Ꝋ < 270°

CUARTO CUADRANTE: 270° < Ꝋ < 360°

Para calcular las componentes rectangulares cuando está expresado en el sistema de coordenadas Polares se utiliza la siguiente ecuación: 

Ax = | A | Cos Ꝋ 

Ay = | A | Sen 

Sistema de coordenadas geográfica y vectores base

 Sistema de coordenadas Geográficas: Un vector se expresa en el sistema de coordenadas geográficas cuando se conoce su módulo y el rumbo del vector.

El rumbo es la forma de dirección del vector pero no es su verdadera Dirección. 

El rumbo utiliza los puntos cardinales los cuales son: Norte, Sur, Este y Oeste. El rumbo siempre comenzara desde el Norte cuando el vector se vaya a encontrar en el primer y segundo cuadrante o también comenzara en el Sur cuando el vector se encuentre en el tercer o cuarto cuadrante, nunca podrá comenzar desde el Este o el Oeste.

El rumbo es la combinación de dos puntos cardinales con su respectivo ángulo que es medido con graduador, a continuación les dejare un texto que representa el rumbo en un vector en el sistema de coordenadas geográficas

RUMBO

N 30° E Primer cuadrante

N 75° O Segundo cuadrante

S 10° O Tercer cuadrante

S 85° E Cuarto cuadrante

Calculo de la dirección del vector cuando se conoce el Rumbo 

Si el vector esta ubicado en el primer cuadrante y se conoce su rumbo se calcula la dirección de la siguiente manera: Ꝋ = 90° – 25°    Ꝋ = 65°

Si el vector esta ubicado en el segundo cuadrante y se conoce su rumbo se calcula la dirección de la siguiente manera:  Ꝋ = 90° + 68° Ꝋ = 158°

Si el vector esta ubicado en el tercer cuadrante y se conoce su rumbo se calcula la dirección de la siguiente manera: Ꝋ = 270° - 55° Ꝋ = 215°

Si el vector esta ubicado en el cuarto cuadrante y se conoce su rumbo se calcula la dirección de la siguiente manera: Ꝋ = 270° + 20° Ꝋ = 290°

Calculo del Rumbo cuando se conoce la dirección del vector 

Al estar el vector en en primer cuadrante se dice que la dirección es menor a noventa grados y sus puntos cardinales son Norte y Este de la siguiente manera:

Ꝋ = 42° (I cuadrante) N 90° - Ꝋ E     N 90° – 42° E

Rumbo: N 48° E

Al estar el vector en en segundo cuadrante se dice que la dirección es mayor a noventa grados y sus puntos cardinales son Norte y Oeste de la siguiente manera:

Ꝋ = 136° (II cuadrante) N Ꝋ - 90° O     N 136° – 90° O

Rumbo: N 46° O

Al estar el vector en en tercer cuadrante se dice que la dirección es mayor a ciento ochenta grados y sus puntos cardinales son Sur y Oeste de la siguiente manera:

Ꝋ = 240° (III cuadrante) S 270° - Ꝋ O       S 270° – 240° O

Rumbo: S 30° O

Al estar el vector en en cuarto cuadrante se dice que la dirección es mayor a doscientos setenta grados y sus puntos cardinales son Sur y Este de la siguiente manera:

Ꝋ = 295° (IV cuadrante) S Ꝋ - 270° E     S 295° – 270° E 

Rumbo: S 25° E

Para calcular las componentes rectangulares cuando está expresado en el sistema de coordenadas Geograficas se utiliza la siguiente ecuación: 

Ax = | A | Cos Ꝋ 

Ay = | A | Sen Ꝋ

Sistema de vectores Base: Un vector ese expresa en el sistema de coordenadas base cuando se conoce sus componentes rectangulares y cada una va acompañado con su componente base correspondiente.

El vector en coordenadas base esta en el primer cuadrante cuando sus ambas componentes son positivas: 

El vector en coordenadas base esta en el segundo cuadrante cuando Bx es negativa y By es positiva: 

El vector en coordenadas base esta en el tercer cuadrante cuando sus ambas componentes son negativas: 

El vector en coordenadas base esta en el cuarto cuadrante cuando Dx es positiva y Dy es negativa: 

En este sistema los componentes no están separados con un punto y como sino están escritos de manera continua.

El modulo del vector en sistema de coordenadas base se calcula de la siguiente manera:

Modulo=

La dirección del vector en coordenadas base se calcula de la siguiente manera: 

Si está en el primer cuadrante: Ꝋ = Tan -1 ( 𝐴𝑦/𝐴𝑥 ) 

Si está en el segundo cuadrante: Ꝋ = [Tan -1 ( 𝐴𝑦/𝐴𝑥 ) ] + 180° 

Si está en el tercer cuadrante: Ꝋ = [Tan -1 ( 𝐴𝑦/𝐴𝑥 ) ] + 180°

Si está en el cuarto cuadrante: Ꝋ = [Tan -1 ( 𝐴𝑦/𝐴𝑥 ) ] + 360°

El calculo del rumbo cuando se conoce la dirección del vector se realiza de la siguiente manera:

Primer cuadrante: N 90° - Ꝋ E

Segundo cuadrante: N Ꝋ - 90° O

Tercer cuadrante: S 270° - Ꝋ O 

Cuarto cuadrante: S Ꝋ - 270° E

Sistema módulo y unitario y sistema módulo y ángulos directores

 Sistema módulo y unitario: Un vector esta expresado el en sistema módulo y unitario cuando se conocen su módulo y su unitario.

El Unitario de un vector se expresa de la siguiente manera: A, se simboliza µA, y es el vector expresado en Sistema de Vectores Base, cuyas componentes son números decimales menores o iguales a uno. Este vector, no tiene unidades. El módulo de este vector unitario SIEMPRE es igual a uno.

A continuación unos ejemplos de vectores unitarios:

De cada vector unitario obtenemos el módulo a través de la siguiente formula:

El resultado de esta formula será uno

Por tanto los vectores expresados en el sistema módulo y unitario serian los siguientes:

Cuando un vector está expresado en el sistema módulo y unitario es muy fácil expresarlo en sistema de vectores base, solo se realiza la propiedad distributiva del módulo hacia las componentes unitarias del vector planteado 

Cálculo del Vector Unitario, cuando un vector está expresado en Sistema de Coordenadas Rectangulares 

Cálculo del Vector Unitario, cuando un vector está expresado en Sistema de Coordenadas Polares

Cálculo del Vector Unitario, cuando un vector está expresado en Sistema de Coordenadas Geográficas
 

Cálculo del Vector Unitario, cuando un vector está expresado en Sistema de Coordenadas Módulo y Ángulos Directores

Sistema módulo y ángulos directores: Un vector está expresado en el sistema de módulo y ángulos directores cuando se conoce su Módulo y ángulos directores del vector. Los ángulos directores de un vector son ángulos que forma el vector con sus ejes (X,Y,Z) positivos.

Ángulo Alfa: Es el menor ángulo que forma el vector con el eje X positivo. 

Ángulo Beta: Es el menor ángulo que forma el vector con el eje Y positivo. 

Ángulo Gama: Es el menor ángulo que forma el vector con el eje Z positivo.

Primer cuadrante: cuando alfa y beta son agudos se encuentran el en primer cuadrante, también se dice que la suma de alfa y beta es noventa grados, alfa es la verdadera dirección y beta es el rumbo  

Segundo cuadrante: Cuando alfa es obtuso y beta es agudo el vector estará ubicado en el segundo cuadrante, además alfa es la suma total de beta más noventa grados, así mismo alfa es la verdadera dirección y beta es el rumbo

Tercer cuadrante: Cuando alfa y beta son ángulos obtusos el vector se encontrará en el tercer cuadrante, la dirección la podremos encontrar restando trescientos sesenta grados menos alfa y la suma de alfa y beta es doscientos setenta grados 

Cuarto cuadrante: Cuando alfa es agudo y beta es obtuso se dice que el vector está en el cuarto cuadrante, la dirección se la encuentra restando trescientos sesenta grados menos alfa y beta es al suma de alfa más noventa grados 

Cuando un vector está en el sistema módulo y ángulos directores, se puede transformar en en sistema de vectores base multiplicando el módulo del vector por el coseno de cada ángulo director.

Cálculo de los ángulos directores cuando se conocen las componentes de un vector: Lo primero es hallar el módulo del vector y luego se aplica las siguientes ecuaciones:

Cálculo de los ángulos directores cuando se conoce la dirección de un vector: Se debe realizar un proceso diferente cuando el vector esta ubicado en diferentes cuadrantes. 

Para el primer cuadrante se debe aplicar la siguiente formula:

Para el segundo cuadrante se debe aplicar la siguiente formula:

Para el tercer cuadrante se debe aplicar la siguiente formula:

Para el cuarto cuadrante se debe aplicar la siguiente formula:

Vectores en el espacio

 Vectores en el espacio

Un vector está en el espacio cuando tiene tres componentes rectangulares, un vector en el espacio se puede expresar de las siguientes formas: 

Sistema de coordenadas rectangulares: Un vector en el espacio se expresa en coordenadas rectangulares cuando se conocen sus tres componentes 

Calculo del módulo de un vector en sistema de coordenadas rectangulares cuando está en el espacio: El módulo siempre será una cantidad positiva y siempre es mayor que las tres componentes, para determinar el módulo de un vector que está expresada en sistema de coordenadas rectangulares se utiliza la siguiente fórmula:

 

Sistema de vectores base: Un vector está expresado en el Sistema de Vectores Base, cuando se conocen sus componentes rectangulares y cada una viene acompañada de su vector base

Ejemplo

Sistema módulo y unitario: un vector esta expresado en este sistema cuando se conoce su modulo y unitario, el módulo del vector es igual a uno.

De cada vector unitario obtendremos el módulo de la siguiente formula 

Su resultado será uno.

Los vectores en sistema de módulo y unitario no tienen unidades y son iguales o menores a uno. 

A este sistema lo podemos transformar fácilmente a sistema de vectores base solo se debe realizar la propiedad distributiva del modulo hacia sus componentes de la siguiente manera:

Cálculo del Vector Unitario, cuando un vector está expresado en Sistema de Coordenadas Rectangulares:

 

Se recomienda que cuando el vector está en el sistema de coordenadas rectangulares debemos transfórmalo a sistema de coordenadas base y posteriormente el unitario del mismo 

Se debe calcular de la siguiente manera: 

Cálculo del Vector Unitario, cuando un vector está expresado en Sistema de Coordenadas Módulo y Ángulos Directores: Se debe determinar el unitario con la siguiente fórmula:

Sistema módulo y ángulos directores: Esta expresado en este sistema  cuando se conoce su módulo y ángulos directores. 

Cuando un vector está en el espacio va a tener tres ángulos directores.

Calculo de los ángulos directores cuando se conocen las componentes de un vector: Lo primero que se debe hacer es hallar el módulo y luego aplicar esta fórmula:

Sistema especial de vectores en el espacio: Un vector está expresado en el sistema especial de vectores en el espacio cuando se conoce su módulo, rumbo y menciona una depresión o elevación.

Ejemplo: 

Se debe determinar primeramente la componente Y multiplicando el SENO del último ángulo, si dice depresión el signo de la componente en Y será negativa y si dice elevación el signo de la componente será positiva. 

Posteriormente se determinará la componente en el plano XZ multiplicando el módulo por el COSENO del último ángulo cabe destacar que esta componente siempre será positiva y servirá de modulo para las componentes X y Z.

Se determina la componente en X del vector multiplicando el resultado de XZ por el COSENO de la Dirección se tiene como resultado el Rumbo. 

Y como último paso se determina la componente en Y del vector, multiplicando el resultado de la componente XZ, por el SENO de la DIRECCIÓN que se obtiene del RUMBO, pero a este resultado siempre se cambia de signo.

Operaciones vectoriales

 Operaciones vectoriales

Suma Vectorial por el método analítico: Para realizar una suma vectorial es de mucha importancia transformar a los vectores que se van a sumar al sistema de coordenadas rectangulares o sistema de coordenadas base.

Posteriormente  sumamos las componentes en X de todos los vectores que sumamos, así mismo con las componentes en Y y las componentes en Z. 

La suma de dos o más vectores es otro vector

Suma vectorial por el método gráfico: El método grafico es una representación aproximada del vector pero el método analítico e el que nos permite encontrar un resultado exacto.

Para graficar el vector necesitaremos una hoja de papel milimetrado en la que se deberá trazar el sistema de coordenadas que se compone de el eje X o eje de las abscisas con sus respectivos puntos cardinales este y oeste y el eje Y o eje de las ordenadas con sus puntos cardinales norte y sur. 

La escala dependerá de las componentes es decir que si sus componentes son divisibles para dos la escala seria 1cm = 2m dependiendo de la unidad de medida que se utilice.

Suma por el método paralelogramo:

Se graficará el primer vector es decir el vector A con un lápiz o esfero que no sea de color rojo y luego graficaremos el segundo vector es decir el vector B que está en sistema de coordenadas geográficas se debe tomar en cuanta que este vector esta en el tercer cuadrante porque tiene un rumbo S 65° O y por tanto la dirección será: 205° y posteriormente graficamos en nuestro ejercicio, luego de haber graficado el segundo vector (no en color rojo). 

Luego de graficar los dos primeros vectores graficamos por el método paralelogramo, con un compas ubicamos la punta metálica y la pinchamos en el origen y la segunda punta se va abrir hasta llegar a la saeta del vector A, luego de llegar a esa abertura levanto el compas sin mover la medida ya realizada y ubicamos la punta metálica en la saeta del vector B y trazamos un arco, nuevamente ubicamos la punta metálica en el origen y realizamos el mismo procedimiento pero esta vez la abertura será desde le origen hasta el vector B y levanto el compas sin mover la medida para después ubicarla en la saeta del vector A y realizar otro arco el cual se va a cortar con el otro arco que ya realizamos y formará un punto el cual vamos a resaltar y lo vamos a unir con una línea entrecortada el punto de corte con la punta del vector A con lápiz, de la misma manera uniremos con una línea entrecortada el punto de corte con la punta del vector B y formaremos un paralelogramo y con este mismo encontraremos la suma del vector A y B, trazaremos una diagonal que se forma al unir el origen con el punto que se formaron al cortar los dos arcos a este lo vamos a llamar R1 (suma del vector A y B).

Procederemos a sumar el resultante uno con el vector C. El vector C esta representado el es sistema de coordenadas polares, calcularemos en el plano los 300° que dice el ejemplo y graficaremos el vector C. 

Luego pinchamos la punta metálica en el origen hasta la punta de lápiz llegue al extremo final de R1, levantamos el compas con esa medida y ubicamos la punta metálica en la saeta del vector C y trazamos un arco, luego otra vez la punta metálica estará ubicada en el origen y la punta de lápiz se ubicara en la saeta del vector C y con esa medida levantaremos el compas y la ubicaremos en la saeta de R1 y trazamos otro arco los que formaran otro corte y formaran otro paralelogramo, uniremos con línea entrecortada el punto con la punta del vector C, de igual manera uniremos con línea entrecortada el punto con la punta del vector R1, ahora vamos a trazar la ultima diagonal ya que no hay mas vectores que sumar y lo llamaremos R (resultante total).  

Encontraremos el vector R en coordenadas polares utilizando una regla y midiendo le longitud del vector, posteriormente medimos el ángulo del vector con un graduador 

Nos podemos dar cuenta con los resultados del método analítico no es el mismo que con el método grafico pero ese resultado es un aproximado, es decir que el método analítico es una respuesta exacta y en el método grafico es una respuesta aproximada.

Suma por el método grafico Polígono:

Este método lo vamos a trabajar con la hoja milimetrada de forma horizontal, empezaremos graficando el primer vector ubicando la saeta y el nombre del primer vector A, la grafica del segundo vector consiste en volver a graficar un nuevo eje X2 y un nuevo eje Y2 pero este eje se ubicará en la punta del primer vector, luego de haber trazado este nuevo eje ubicamos el segundo vector en el mismo, graficamos este vector el cual está expresado en coordenadas polares y lo ubicamos como corresponde y lo llamaremos vector B, a continuación en la punta del vector B hacemos otro eje X3 y otro eje Y3, El tercer vector está expresado en coordenadas geográficas es decir que el tercer vector estará ubicado en el cuarto cuadrante y lo llamaremos vector C.

Se llama método del polígono porque tenemos que logar formar con los vectores una figura cerrada (polígono), para que se forme el polígono debemos cerrar esta figura y cuando vayamos acerrar la figura no solo vamos a encontrar el polígono sino que también vamos a encontrar la respuesta de la suma de todos estos vectores, cuando unamos o cerremos la figura se va a formar una línea la cual vamos a poner una saeta y formara el ultimo vector R(vector resultante)

Encontraremos el vector R en coordenadas polares utilizando una regla y midiendo le longitud del vector, posteriormente medimos el ángulo del vector con un graduador

Nos podemos dar cuenta con los resultados del método analítico no es el mismo que con el método grafico pero ese resultado es un aproximado, es decir que el método analítico es una respuesta exacta y en el método grafico es una respuesta aproximada.

Producto de un escalar por un vector: Esta operación se la puede realizar entre un escalar y un vector y su resultado seria otro vector 

Esta operación se podrá realizar cuando el vector este expresado en sistema de vectores base o sistema de coordenadas rectangulares, posteriormente multiplicamos el escalar por el vector aplicando la propiedad distributiva para que nos de como resultado otro vector.

Producto Punto: Esta operación se realiza entre dos vectores y su resultado será un escalar, el símbolo que representa esta operación es: ʘ

Esta operación se puede realizar trasformando el vector a sistema de vectores base o sistema de coordenadas rectangulares, posteriormente se multiplica entre ellas las X, las Y y las Z obteniendo tres tres números que sumaremos los mismos y tendremos la respuesta.

Producto cruz: Esta operación se realiza entre dos vectores y su resultado es otro vector el símbolo que representa esta operación es: 

Esta operación se la puede realizar transformando los vectores al sistema de vectores base o al sistema de coordenadas rectangulares, posteriormente se procede a resolver un determinante de 3x3 y la primera fila estará conformada por los tres vectores base, la segunda fila estará conformada por las componentes del primer factor y la tercera fila estará conformada de por las componentes de segundo vector factor 

Proyección de un vector sobre otro: Se obtiene mediante la siguiente formula: 

Se puede decir que debemos encontrar el producto punto en el primer vector y el vector unitario del segundo vector y su resultado será un número, se multiplica por el unitario del segundo vector y el resultado es el vector proyección de A sobre B que se simboliza 

Cinemática

 Cinemática

La cinemática es una rama de la física que estudia los diversos movimientos los cuales son:

1.-Movimiento rectilíneo uniforme: Es un movimiento que tiene una trayectoria recta, tiene una rapidez constante y su aceleración es constante e igual a cero y en este movimiento todos los vectores tienen la misma dirección, ángulos directores y rumbo.

Las formulas para Escalares y vectoriales son las siguientes:

Escalares

Vectoriales

Se debe resaltar que las formulas se trabajaran en el sistema internacional (metro, kilogramo, segundo, mol, etc..)

Las graficas para posición y tiempo

Se dice que el tiempo se debe trazar en X y la posición en Y. La pendiente es la velocidad que tiene el cuerpo.

Las graficas para Velocidad y tiempo

La velocidad es una magnitud constante por lo cual su pendiente equivale a cero que corresponde a su aceleración y para finalizar las áreas limitadas corresponden a la distancia.

  

Las graficas para Aceleración y tiempo

La aceleración en esta grafica es nula en todo el movimiento